Un bref aperçu de haskell

Tout ceci est très abstrait, alors regardons ce que cela donne avec un exemple simple. On considère Maybe qui est une instance de Applicative de la façon suivante :

instance Applicative Maybe where
   pure = Just
   (Just f) <*> (Just x) = Just (f x)
   _        <*> _        = Nothing

La méthode pure prend un truc :: a et le place dans un Maybe a par Just truc. C'est la façon la plus intuitive de placer notre truc dans un Maybe, sans perdre d'information. L'opérateur <*> se contente lui de récupérer la fonction à sa gauche, la valeur à sa droite, d'effectuer le calcul (l'application de f à x) puis de placer le résultat dans un contexte minimal en utilisant le constructeur Just. La dernière ligne s occupe des cas où il manque la fonction, l'argument, ou bien les deux. Dans ces trois cas, on ne peut effectuer le calcul, et l'on ne peut donc produire de résultat.

Comme dit plus haut, si l'on vais une fonction qui prend la racine carré (sqrt :: Int) d'un entier, et "peut-être un nombre" (un v :: Maybe Int), on pouvais mapper notre fonction avec la ligne fmap sqrt v. Avec un foncteur applicatif, on peut aussi écrire :

resultat = (pure sqrt) <*> v

Mais alors, quel est l intérêt des foncteurs applicatifs? Regardons l'application d'une fonction prenant trois entier à trois "peut-être un entier".

--Ici, v1, v2 et v3 sont de type Maybe Int.
--Si vous voulez savoir d'où il viennent, disons que ce sont le résultat
--de la lecture d'une chaîne de caractère et de tentative de conversion de
--la chaîne en nombres. Si c'était possible, alors on a des valeurs de la forme "Just 42".
--Sinon, on aura "Nothing".

--On a une superbe fonction :
deepThought :: Int -> Int -> Int -> Answer

--Et on veut l'appliquer à v1, v2, v3.
--Si l'on essaye avec un foncteur :
premiereApplication :: Maybe (Int->Int->Answer)
premiereApplication = fmap deepThought v1

--Maintenant, on est bloquer, on ne sais pas appliquer
-- une fonction qui se trouve dans un maybe...
--... à moins d'utiliser <*> :)
secondeApplication :: Maybe (Int -> Answer)
secondeApplication = premiereApplication <*> v2
derniereApplication :: Maybe Answer
derniereApplication = secondeApplication <*> v3

--En fait, on aurait pu d'abord placer la fonction dans un Just,
-- puis appliquer v1, v2 et v3 avec <*> :
toutEnUn :: Maybe Answer
toutEnUn = (pure deepThought) <*> v1 <*> v2 <*> v3

--Et pour finir, sachez qu'il existe un petit sucre syntaxique
-- pour "(pure f) <*> x" ; l'opérateur <$> :
toutEnUn :: Maybe Answer
toutEnUn' = deepThought <$> v1 <*> v2 <*> v3

Mais parce que le haskell recèle encore bien des surprises, intéressons nous à une autre instance de Applicative : Les listes.

Comme nous l'avions vu la dernière fois, les listes sont un excellent exemple de foncteur. Mais pouvons nous en faire des foncteurs applicatifs? Il est facile de placer une valeur dans un contexte minimal : on définira pure a = [a]. En fait, il nous faudrait répondre à la question suivante : Si l'on a une liste de fonction [f1, f2, f3] et de valeurs [2, 3, 4], comment définir l'opérateur <*> ?

La solution retenue par haskell est on ne peut plus simple : on applique toutes les fonctions à toutes les valeurs. Voici la définition de l'instance :

instance Applicative [] where
    pure x = [x]
    fs <*> xs = [f x | f <- fs, x <- xs]

Cela donne une façon très facile d'effectuer de nombreux calculs différents. C'est à dire : Vous disposez d'un ensemble de valeurs, et d'un ensemble de fonctions. Vous voulez connaître TOUS les résultats possibles. Il suffit alors d'appliquer la liste des fonctions sur la liste des valeurs avec l'opérateur <*>. Un exemple, en partie tiré de Learn You Haskell for Great Good est le parcoure d'un cavalier. Un cavalier est situé quelque part sur un échiquier infini, et vous voulez connaître toute les positions où il peut se trouver après 5 coups. Il suffit décrire une fonction par déplacement possible et de les placer dans une liste, disons [u1, u2, l1, l2, r1, r2, d1, d2] et d'appliquer cette liste à la position d'origine dans un contexte [(x, y) ou encore pure (x, y). La solution est donné par :

u1 (l, c) = (l+2,c+1)
u2 (l, c) = (l+2,c-1)
d1 (l, c) = (l-2,c+1)
d2 (l, c) = (l-2,c-1)
l1 (l, c) = (l+1,c-2)
l2 (l, c) = (l-1,c-2)
r1 (l, c) = (l+1,c+2)
r2 (l, c) = (l-1,c+2)

fctListe = [u1, u2, d1, d2, l1, l2, r1, r2]
origine (l, c) = [(l,c)]

etapeSuivante position = fctListe <*> position

solution (l, c) = etapeSuivante . etapeSuivante . etapeSuivante . etapeSuivante . etapeSuivante $ origine (l, c)

On les avais cacher lors de la discussion des foncteurs, car ils sont difficile à cerner, leur intérêt n'est pas évident au premier abord, et leur construction est quelque peu... surprenante. Mais puisqu'ils sont utile comme foncteur applicatif, parlons en! Si la partie la plus abstraite vous échappe, aucune raison de vous inquiéter, l'idée est de survoler les notions pour avoir un aperçu, éveiller la curiosité et peut être vous inciter à lire des livres/articles dédiés. Si tout cela vous intéresse, sautez à la section "Foncteurs applicatifs" de Learn You a Haskell.

L'opérateur -> est un constructeur de type, à deux arguments. Vous lui donnez deux types, a et b, et il vous construiras le type "prend du a et retourne du b". On peut donc écrire f :: a -> b ou encore f :: (->) a b. Que signifie alors (->) r ? Cela signifie que l'on parle d'un constructeur de type à un argument, et que si vous lui donnez un type a, il désigneras alors les fonctions de type a -> r Si r désigne un type, on peut alors faire de (->) r une instance de functor où mapper une fonction de type a->b signifie l'appliquer au résultat de l'évaluation de la fonction de type (-> r a. Plus précisément :

instance Functor ((->) r) where
    fmap f g = (\x -> f (g x))

L'intérêt peux sembler limiter, puisque (fmap f g) 42 se simplifie en f . g $ 42 qui est bien plus lisible. Outre sa fantastique capacité à mettre votre esprit à rude épreuve, ce changement de point de vue devient très intéressant avec la classe applicative, puisqu'il donne la possibilité d'avoir un ensemble de paramètres.

Un exemple commenté :

--Notre type "paramètre". On aurais pu construire une sorte de grosse structure
-- avec diverses informations.
--Dans cette example, on se contenteras d'un nombre.
type Param = Int

unEntier :: Param -> Int
unEntier = pure 5

unAutreEntier :: Param -> Int
unAutreEntier param = 5 + param

uneFonction :: Param -> Int - > String
uneFonction param arg = show (arg + param)

somme = pure (+) <$> unEntier <*> unAutreEntier
affichage = uneFonction <*> somme

--Vaut 94 :
evaluationDansUnCOntexte = affichage 42

Comme on dit, dura lex, sed lex. Les foncteurs devaient respecter certaines règles, et il en est de même des foncteurs applicatifs. Une fois habitué aux foncteurs applicatifs, ces règles semblent découler du bon sens. Ce sont des invariants que doivent respecter vos instances d'Applicative. Si vous ne les respectez pas, c'est que ce que vous voulez faire n'est pas un foncteur applicatif, et n'a donc aucune raison d être instance d'Applicative.

Sans trop rentrer dans les détails, les voici, brièvement commentés :

-- Neutre :
pure id <*> v = v
--Cela signifie qu'appliquer la fonction identité
-- (id = (\x -> x) ) a un élément v via <*> le laisse inchangé.
--C'est une sorte de "neutre à gauche".

-- Composition :
pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)
--Cela signifie que composer les fonctions à l'intérieur de u et v
-- via l'opérateur .  (C'est la partie pure (.) <*> u <*> v) revient à calculer u sur le résultat de v.
--Comme on compare deux fonctions sur leur valeur, et que l'on parle de résultat, on doit introduire
-- un certain mister w, et on vérifie que quelque soit ce w, on a bien que u calculer sur v calculé sur w donne bien le même résultat que la composé (pure (.) <*> u <*> v) calculé sur w.

-- Morphisme :
pure f <*> pure x = pure (f x)
--Cette égalité garanti que : placer f dans un contexte minimal, placer x dans un contexte
-- minimal, puis "mouliner" donne le même résultat que f x placé dans un contexte minimal. En quelque sorte,
-- on transforme l'opérateur $ :: (a->b) -> a -> b en l'opérateur <*> :: f (a->b) -> f a -> f b.

-- ' Échange '
u <*> pure y = pure ($ y) <*> u

-- C'est une sorte de commutativité du pauvre. On ne peut pas vraiment échanger les arguments à droite et à gauche, car l'un est une fonction, l'autre une valeur. Mais on peut transformer une évaluation "f y" en "$ f y ", ce qui permet de changer l'ordre des arguments.

Dans un "vrai" programme, on n'a pas toujours une valeur a retourner pour une fonction. Que faire si l'on demande le premier élément d'une liste vide? Et si jamais on veut convertir une chaîne en un nombre, qui par malheur n'est pas un nombre? En bref, comment gérer une erreur correspondant à l absence d'un résultat?

Une réponse est la monade maybe. Commençons par des fonctions qui renvoient peut-être une valeur :

maybeHead :: [a] -> Maybe a
maybeHead [] = Nothing
maybeHead (head : tail) = Just head

maybeList :: (Int, Int) -> Maybe [Int]
maybeList (first, last) = if first <= last then [first..last] else Nothing

maybeRange :: Bool -> Maybe (Int, Int)
maybeRange False = Nothing
maybeRange True = (23, 42)

On voudrais maintenant récupérer le premier élément de la liste pour les valeur donné par maybeRange, si la liste existe, bien sure. C'est la que les monades interviennent! Grâce au monades, on peut composer les deux fonctions, bien qu'un Maybe [Int] ne soit pas un [Int].

resultat :: Maybe Int
resultat choice = maybeRange choice >>= maybeList >>= maybeHead

Si l'une des étapes ne produit pas de résultat (un Nothing), alors l absence de résultat seras propagé et on obtiendras un Nothing.

Cette méthode a de nombreux avantages par rapport aux deux solutions très connues suivantes :

1) Le "code d'erreur", c'est à dire placer nullptr quand on pointeur n'existe pas, ou encore "-1" ou 0 pour signaler une erreur. L'inconvénient de cette méthode est d'obliger le développeur à vérifier chacune des valeurs de retour avec un if, généralement pour sortir de la fonction, souvent en retournant un nouveau code d erreur pour signaler que le résultat produit n'est pas "vraiment" un résultat, mais une absence de résultat.

L'utilisation de la monade Maybe permet d'éviter ces testes répété. Si une seul des fonctions ne peut pas fournir de résultat, alors les applications suivantes seront toute ignoré et, bien entendu, ces fonctions ne seront pas évaluées, donc pas de cout en temps de calcul.

2) Les exceptions. Cela consiste à interrompre l'exécution normale du programme pour remonter a travers toute la pile d'appels, en espérant que quelqu'un seras assez gentil pour s'occuper de cette erreur. Cela a un cout en terme de performances, et doit être réserver pour les évènements exceptionnels. L'impossibilité de produire un résultat est rarement exceptionnel, c'est plutôt chose commune.

Le chaînage de monade Maybe a l'avantage de ne pas déclencher un erreurs qui pourrait se perdre et aller jusqu'à interrompre le programme. Que les valeurs soient présente ou non, le comportement est toujours "simple" à prédire. Et plus un code est simple, moins il y a de risque qu'une erreurs s'introduisse.

En règle générale, dès que le résultat peut ne pas être fournit, vous pouvez utiliser la monade Maybe. Si parfois une certaine fonction f que vous voulez chaîner produit toujours un résultat, alors vous pouvez la placer au milieu d'une chaîne de >>= en écrivant return . f. Vous pouvez aussi une fmap, car toute les monades sont des foncteurs.

Nb : Peut-être avez vous besoin de conserver une information sur l'origine de l'erreur. Ceci est possible grâce à la monade Either.

Pour finir, voici l'instance de cette monade :

instance Monad Maybe where
        return x = Just x
        Nothing >>= f = Nothing
        Just x >>= f  = f x
        fail _ = Nothing

Nous avions vu comment les listes comme foncteurs applicatifs permettent de résoudre élégamment la question du déplacement d'un cavalier. Mais dans un échiquier fini, on ne savais pas trop comment gérer les bords. Revenons sur ce problème.

Les listes, vu comme monade, nous permettent de combiner des fonctions de type a -> [b]. L'idée est que vous disposez de diverse fonctions qui prennent une valeur, et produise divers résultats possible. Vous voulez alors appliquer des fonctions sur chacun de ces résultats. On peut donc parler de calcul non-déterministe : une valeur donne plusieurs résultats possible.

On peut donc réaliser un remake du cavalier, en se servant de ce calcul non déterministe, partant du fait que depuis une position, on a un certain nombre variable de positions possibles.

--Quelques types pour plus de lisibilité,
-- histoire de rappeler que les types sont
-- aussi là pour fournir des informations sémantiques.
type Ligne = Int
type Collone = Int
type Position = (Ligne, Collone)

--Fonction utilisé pour ne garder que les positions dans l'échiquier
dansLechiquier :: Position -> Bool
dansLechiquier (l, c) = l `elem` [1..8] && c `elem` [1..8]

--Produit une liste des positions possibles
deplacerCavalier :: Position -> [Position]
deplacerCavalier (l, c) = filter dansLechiquier liste
  where liste = [(l+2,c-1),(l+2,c+1),(l-2,c-1),(l-2,c+1)
                ,(l+1,c-2),(l+1,c+2),(l-1,c-2),(l-1,c+2)]

--Donne la liste des positions possible du cavalier, partant de (4, 5), et après trois déplacements.
resultat = return (4, 5) >>= deplacerCavalier >>= deplacerCavalier >>= deplacerCavalier

En fait, une autre façon de faire serais de mapper la fonction deplacerCavalier dans la liste de positions, produisant un "[[Position]]", puis d'appeler concat sur cette liste, la recollant en une "[Position]". C'est d'ailleurs se que fait l'opérateur >>= !

L'utilisation des listes sous leur forme de monade n'est pas limité à cette exemple. Je peux mentionner un exemple qui vous paraîtras peut-être moins académique. Disons que vous voulez enregistrer une image, et que vous disposez d'une fonction qui vous donne les couleurs r, g, b, a sous la forme d'une liste de nombres, c'est à dire getPixel (x, y) :: [Word8] (Word8 est un nombre codé sur 8 bits). Sachant que pour enregistrer l'image, vous devez fournir un tableau, qui peut être très facilement construit à partir de la liste des valeurs qu'il vas contenir. (Le compilateur (ghc) est très malins, et le programme compilé ne s'amusera pas à produire une liste, la construire en mémoire, puis la placer dans le tableau.) La monade [] permettent d'écrire en une ligne, de façon très élégante, la création d'un tableau où les valeurs sont bien la succession des valeurs de getPixel calculé à chaque coordonné. Bien-sur, on aurais pu utiliser concat et map, puisque c'est justement ce que fait l'opérateur bind. Tout ça pour dire que les listes vue comme monade ne sont pas un gadget, mais bien un outil.

Voici la définition de l'instance pour les curieux :

instance Monad [] where
        return x = [x]
        xs >>= f = concat (map f xs)
        fail _ = []  

La notation do est un sucre syntaxique. Seulement, les monades sont tellement amère que vous aurez vraiment besoin de ce sucre, je vous l'assure. La notation do permet décrire facilement le chaînage d'actions, et le fait de récupérer des valeurs dans un contexte.

Considérons l'exemple suivant tiré de Learn You a Haskell :

    foo :: Maybe String
    foo = Just 3   >>= (\x ->
          Just "!" >>= (\y ->
          Just (show x ++ y)))

On récupère deux valeurs de monades à travers x et y, puis l'on place le résultat de show x ++ y dans un contexte. C'est lourd a écrire, demande l'imbrication de fonctions... Avec la notation do, cela revient à :

foo :: Maybe String
foo = do
        x <- Just 3
        y <- Just "!"
        Just (show x ++ y)

-- Ou encore :
foo :: Maybe String
foo = do
        x <- Just 3
        y <- Just "!"
        return (show x ++ y)

Dans les deux premières lignes, on récupère x et y depuis Just 3 et Just "!", puis on fait notre traitement.

Mais ça ressemble a des listes en compréhension tout ça! Revoyons l'exemple précédent avec des listes :

foo :: Maybe String
foo = [1, 2, 3]   >>= (\x ->
          [".", "!", "?"] >>= (\y ->
          [show x ++ y]))

Le résultat produit est toute les façons de coller l'un des signes de ponctuations après l'un des nombres. C'est exactement la même chose que :

foo :: Maybe String
foo = do
          x <- [1, 2, 3]
          y <- [".", "!", "?"]
          return (show x ++ y)

-- Ou encore :
foo = [show x ++ y | x <- [1, 2, 3] | y <- [".", "!", "?"]]

Voilà donc l'explication des liste en compréhension! Et oui, il nous auras fallut arriver jusqu'ici pour pouvoir enfin dire ce qu'est une liste en compréhension. C'est simplement une notation spécifique au liste d'un bloque do. C'est donc de la manipulation de monade que vous faites à chaque fois que vous écrivez une liste en compréhension. Si c'est si pratique avec les listes, vous vous doutez bien que pouvoir le faire avec divers structures, comme des arbres, est tout aussi pratique.

Vous vous demandez alors comment ajouter les conditions, comme dans [x^2 | x <- [1..20], x `mod` 2 == 0] ? Et bien vous pouvez utilisez la fonction guard, qui produiras une liste vide si la condition n'est pas vérifiée :

foo = do
      x <- [1..20]
      guard (\x -> x `mod` 2 == 0)
      return x^2

Nous avions utilisé le foncteur applicatif (->) r pour représenter des calculs qui dépendent d'un contexte. On savais donc appliquer des fonctions r -> (a->b) sur des valeurs r -> a. Seulement, il est plus commun de partir d'une valeur, et produire un résultat qui dépend du contexte. On voudrais donc une monade, pour pouvoir combiner des fonctions de type a -> (r -> b) (Les parenthèses sont là pour faire ressortir que l'on considère (->) r comme un foncteur/ une monade, mais bien-sur facultatives).

Comme (->) r est l'une des monades les plus abstraites, regardons un exemple concret, où le contexte est la position d'une caméra dans un raytracer.

--On définit une caméra.
--Une caméra contient la position depuis la quelle
-- les rayons sont lancé, la distance à la quel se trouve
-- le plan, et la taille de celui ci.
type Position = (Double, Double, Double)
type Direction = (Double, Double, Double)
type Distance = Double
type Coordonnee = Int
type Largeur = Coordonnee
type Hauteur = Coordonnee
type Plan = (Largeur, Hauteur)
data Camera = Camera Position Distance Plan

getRay :: Coordonnee -> (Camera -> Direction)
getRay (i, j) cam = let (Camera (x, y, z) _ _ _) = cam in normalize (i - x, j - y, -z)
  where
    normalize (x, y, z) = let norme = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) in (x / norm, y / norm, z / norm)

rayTraceScene :: Scene -> Direction -> (Camera -> (Object, Distance))
rayTraceScene = -- Imaginons que l'on fait le nécessaire pour raytracer une scène.

computeColor :: (Object, Distance) -> Camera -> [Word8]
computeColor = -- Calcule la couleur en tenant compte de l'angle de la caméra, etc.

--Pour getPixel, on préférera souvent spécialiser d'abord la Caméra,
-- puis appeler cette spécialisation sur toute les coordonnées de l'image.
-- C'est pourquoi le type est "Camera -> Coordonnee -> [Word8]" plutôt
-- que "Coordonnee -> Camera -> [Word8]". On perd donc la possibilité
-- d'utiliser getPixel avec la monade "(->) Camera".
getPixel :: Camera -> Coordonnee -> [Word8])
getPixel cam coords = (return coords >>= getRay >>= (rayTraceScene uneScene) >>= computeColor) cam

Comprenez bien que les monades ne sont pas indispensable, et que l'on faisait des monade avant la création de la classe Monade. C'est simplement de nouveaux outils à votre disposition pour résoudre des problèmes, et ils permettent parfois de résoudre certains problèmes de façon très élégante et concise (ce qui est un excellent point pour l'évolutivité du code).

Sachez que les monades aussi doivent respecter certaines règles, tous comme les foncteurs et les foncteurs applicatifs. Cela assure qu'une monade seras bien un foncteur (applicatif), de la façon décrite plus haut. Les voici :

-- Neutre à gauche
return a >>= f = f a
-- Neutre à droite
m >>= return = m
-- Associativité
(m >>= f) >>= g = m >>= (\x -> f x >>= g)

Vous trouverez des liens dans les références pour plus de détails.

On n'a pas aborder la monade IO. Cette monade permet de ramener les actions propre a l'impératif, les "effets de bord", dans le langage haskell. L'astuce diabolique est la suivante : Puisque qu'un programme haskell ne peut produire d'effet de bord, un programme haskell décriras comment composer, juxtaposer, et transformer les résultats produits par des programmes à effets de bord. Utiliser la monade IO, c'est jouer avec la composition et la juxtaposition de programmes. C'est alors que l'opérateur ">>" prend tout son sens! Il permet de juxtaposer deux programmes impératifs et ne retenir le résultat que du second, par exemple :

afficherMessage = putStrLn "Bonjour," >> putStrLn "monde!"

En dire plus sur cette monade n'a d'intérêt que pour les personne voulant écrire des programmes en haskell. Si c'est votre cas, je vous invite à lire, au choix, Learn You a Haskell for Great Good ou (plus technique et plus ... "professionnel") Real World Haskell, chez O'Reilly.